연속확률변수인 균등분포, 정규분포의 확률밀도함수와 기대값과 분산

이산확률변수 - 확률질량함수

연속확률변수 - 확률밀도함수

여기서 확률밀도함수를 구하는 방법을 알아보자.

확률 밀도함수는 F(x)를 미분한 F`(x)를 의미한다.

F(x)는 누적분포함수(CDF)이며 이것의 변화율이 f(x)이다.

 

균등분포(Uniform Distribution)

균등분포는 이후에 나오는 분포의 출발선이 된다.

이전에 이산확률변수에서 베르누이분포가 기준이 되듯..

아래는 균등분포의 확률밀도함수, 기대값, 분산을 나타낸다.

균등분포의 확률밀도함수, 기대값, 분산

 

정규분포

정규분포의 확률밀도함수를 먼저 보자.

정규분포의 확률밀도함수

우리가 일반적인 형태의 함수 식은 적분이 가능했지만, 정규분포의 확률밀도함수는 손으로 적분이 불가능한 형태이다.

적분을 해야 해당 구간의 밀도를 구할 수 있다. 그 밀도가 결국은 확률이기 때문이다.

그래서 우리는 정규화의 과정이 필요한 것이다(표준정규분포)

 

정규분포는 식에서 보듯이, parameter가 평균, 표준편차만 주어지면 구할 수 있다.

정규분포의 위치는 평균에 의해 영향을 받지만, 모양은 표준편차만 영향을 준다.

 

평균과 표준편차에 따라 달라지는 정규분포

정규분포의 68 - 95 - 99.7 법칙(근사적 성질)

이 성질을 따르면 정규분포를 따른다고 본다.

근사적 성질이라고 하는 이유는 딱 68%, 95%, 99.7%가 아니라

68.XXX% 이기 때문이다.

 

정규분포의 중요한 성질

정규분포의 중요한 성질

• 1. 정규분포인 확률변수에 어떤 상수를 곱하고, 더해도 그것은 정규분포를 따른다.
• 2. 서로 독립인 두 정규분포끼리 상수를 곱한 뒤 더해도 그것은 정규분포를 따른다.
• 3. 위의 규칙은 anXn인 경우에도 성립된다 → (2)에서 aX+bY를 a1X1+a2X2라고 생각하고 an+Xn까지 확장시키면, 평균과 분산 또한 n까지의 더하기로 늘어난다.
• ex) P(X>Y)를 구하고자 하면, P(X-Y>0)을 구하면 된다. 여기서 X-Y를 새로운 확률변수라고 하고, 평균끼리는 빼주고, 분산끼리는 더해주는 방법으로 평균과 분산을 구한 뒤에 정규화를 한다. 다만 분산을 구할 때는, V(X) + V(-Y)임을 명심하자. 분산은 마이너스가 나올 수 없기 때문이다.

 

 

표준정규분포

I 가운데 o을 그린 그림이 누적분포함수를 의미한다.(좌측의영역)

Z값이 x이상일 때, 바로 구하기 힘드니,

1-Io를 해서 대칭성을 이용하면 된다.

Z값이 x이상일 때는 예전에 배웠던 z0.05와 같은 것 같다.

Io는 -무한대부터 해당 값까지의 넓이(확률)이고,(좌측)

z0.05는 해당 값부터 +무한대까지의 값이다.(우측)

1-Io를 하면 z0.05와 같은 식으로 될 것.